题目内容
14．
如图，在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O为顶点P在底面ABC内的投影，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面POD；③AB⊥平面POD，其中正确论断的个数为（ ）| A． | 3个 | B． | 2个 | C． | 1个 | D． | 0个 |
分析 由P-ABC是正三棱锥，可知底面△ABC是正三角形，且顶点P在底面ABC内的投影O是底面三角形的中心，然后利用线面垂直的判定可得AC⊥平面PBE，AB⊥平面POD，可知①③正确；由AC∩平面POD=C知②错误．
解答 
解：∵P-ABC是正三棱锥，∴底面△ABC是正三角形，
且顶点P在底面ABC内的投影O是底面三角形的中心，
又D，E分别是AB，AC的中点，则BE∩CD于O，且BE⊥AC，CD⊥AB．
又PO⊥底面ABC，∴PO⊥AC，PO⊥AB，则AC⊥平面PBE，
有AC⊥PB，故①正确；
AB⊥平面PCD，即AB⊥平面POD，故③正确；
AC∩平面POD=C，故②错误．
∴正确论断的个数为2个．
故选：B．
点评 本题考查棱锥的结构特征，考查了线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
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