Question

已知函数f（x）=∫

x -a

（12t+4a）dt，F（a）=∫

1 0

[f（x）+3a²]dx，求函数F（a）的最小值．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：根据积分公式分别求出f（x）和F（a）的表达式，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值．

解答： 解：f（x）=∫

x -a

（12t+4a）dt=(6t2+4at)

|

x -a

=6x²+4ax-6a²+4a²=6x²+4ax-2a²，
则F（a）=∫

1 0

[f（x）+3a²]dx=∫

1 0

[6x²+4ax-2a²+3a²]dx=∫

1 0

[6x²+4ax+a²]dx=(2x3+2ax2+a2x)

|

1 0

=a²+2a+2=（a+1）²+1，
∴当a=-1时，F（a）有最小值1．

点评：本题主要考查函数的积分计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式．