Question

对a、b＞0，a≠b，已知下列不等式成立：
①2ab＜a²+b²；②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵．
（1）用类比的方法写出

 

＜a⁶+b⁶；
（2）若a、b＞0，a≠b，证明：ab²+a²b＜a³+b³；
（3）将上述不等式推广到一般情形，请写出你所得结论的数学表达式（不必证明）．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：（1）类比答案不唯一，得出的结论不一定正确，（2）作差证明，（3）归纳推理得到的结论也不一定正确．

解答： 解：（1）类比得到：ab⁵+a⁵b＜a⁶+b⁶；（或a²b⁴+a⁴b²＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）；
（2）∵a³+b³-（a²b+ab²）=a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）
=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）
又∵a，b＞0，a≠b，
∴a+b＞0，（a-b）²＞0，
∴a³+b³-（a²b+ab²）＞0
∴a²b+ab²＜a³+b³．
（3）一般情形为：a^mbⁿ+aⁿb^m＜a^m+n+b^m+n（a＞0，b＞0，a≠b，m，n∈N^*）．

点评：本题考查了类比推理及归纳推理，其结论的正确性要通过证明才可以．