Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2

13

，一直角边的方程是y=2x，则抛物线的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由一直角边的方程是y=2x，知另一直角边的方程是y=-

1

2

x．由此求出三角形的另两个顶点为(

p

2

，p)和（8 p，-4p），从而利用已知条件能求出所求抛物线的方程．

解答： 解：∵一直角边的方程是y=2x，
∴另一直角边的方程是y=-

1

2

x．
由

y=2x y2=2px

，解得

x= p 2 y=p

，或

x=0 y=0

（舍去），
由

y=- 1 2 x y2=2px

，解得

x=8p y=-4p

，或

x=0 y=0

（舍去），
∴三角形的另两个顶点为(

p

2

，p)和（8p，-4p）．
∴

( p 2 -8p)2+(p+4p)2

=2

13

．
解得p=

4

5

，
∴所求抛物线的方程为y²=

8

5

x．
故答案为：y²=

8

5

x．

点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程和两点间距离公式的合理运用．