Question

以下五个命题中，正确的有

 

．
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
⑤已知A（-2，0）、B（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，它们的斜率之积为

1

4

，则点P的轨迹方程为

x2

4

+y²=1．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①利用双曲线的定义可判断①；
②设定圆C的方程为（x-a）²+（x-b）²=r²，定点A（x₀，y₀），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），依题意，可求得动点P的轨迹方程，从而可判断②；
③解方程2x²-5x+2=0的两根，从而可判断利用椭圆与双曲线的性质可判断③；
④分别求得双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1的焦点坐标，可判断④；
⑤依题意，可求得点P的轨迹方程为

x2

4

-y²=1（x≠±2），可判断⑤．

解答： 解：对于①，设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，当|k|＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线的一支，故①错误；
对于②，设定圆C的方程为（x-a）²+（x-b）²=r²，其上定点A（x₀，y₀），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），
由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

）得

x= x0+a+rcosθ 2 y= y0+b+rsinθ 2

，消掉参数θ，得：（2x-x₀-a）²+（2y-y₀-b）²=r²，即动点P的轨迹为圆，故②错误；
对于③，解方程2x²-5x+2=0得：x=

1

2

或x=2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故③正确；
对于④，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点为（±

34

，0），椭圆

x2

35

+y²=1的焦点为：（±

34

，0），即双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点，故④正确；
对于⑤，已知A（-2，0）、B（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，它们的斜率之积为

1

4

，则

y

x+2

•

y

x-2

=

1

4

（x≠±2），整理得：

x2

4

-y²=1（x≠±2），故⑤错误．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查椭圆、双曲线的定义与标准方程、几何性质的应用，考查椭圆的参数方程的应用，属于难题．