Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N₊），等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N₊，（S_n+

1

2

）•k≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,函数恒成立问题,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件转化数列为等比数列，即可求解数列{a_n}的通项公式，利用等差数列的性质直接求解通项公式即可．
（2）利用等比数列的和求出S_n，转化不等式为k的一侧的不等式，得到k≥

2(3n-6)

3n

，求出右侧的最大值即可得到k的取值范围．

解答： 解：（1）由S_n+1=4S_n-3S_n-1，得S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），
即a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N₊），所以a_n=3^n-1．
因为b₅-b₃=2d=6，所以d=3，所以b_n=3+（n-3）×3=3n-6.6分
（2）S_n=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，
所以原不等式可转化为（

3n-1

2

+

1

2

）k≥3n-6对n∈N₊恒成立，
所以k≥

2(3n-6)

3n

对n∈N₊恒成立．
令c_n=

2(3n-6)

3n

，c_n-c_n-1=

2(3n-6)

3n

-

2(3n-9)

3n-1

=

-12n+42

3n

（n≥2）．
当n≤3时，c_n＞c_n-1；当n≥4时，c_n＜c_n-1．
所以（c_n）_max=c₃=

2

9

，所以k≥

2

9

.12分．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及数列与不等式的应用，数列的函数的特征，考查分析问题解决问题的能力．