Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）．
（1）设b_n=a_n-3n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件转化为：b_n=2b_n-1，即可证明数列{b_n}是等比数列．
（2）利用（1）的结果求出数列的通项公式，然后求解数列的通项公式即可．

解答： 解：（1）因为b_n=a_n-3n，所以a_n=b_n+3n．
又a_n=2a_n-1-3n+6，所以b_n+3n=2[b_n-1+3（n-1）]-3n+6，
即b_n=2b_n-1（n≥2，n∈N₊），
所以数列{b_n}是以b₁=a₁-3=-2为首项，2为公比的等比数列.6分
（2）由（1）得b_n=（-2）•2^n-1，
所以a_n=b_n+3n=（-2）•2^n-1+3n．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2ⁿ.12分．

点评：本题考查递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，等比数列的判断，考查计算能力．