Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=4，AC⊥BC，若D是AB中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅱ）求异面直线AC₁和CD所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连接BC₁交B₁C于点E，连结DE，由已知条件推导出DE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅱ）由DE∥AC₁，得到∠CDE为异面直线AC₁和CD所成的角或其补角，由此能求出异面直线AC₁和CD所成的角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：连接BC₁交B₁C于点E，连结DE，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面都是矩形，
∴点E是BC₁的中点，…（2分）
又∵D是AB的中点，
∴DE∥AC₁，…（4分）
又∵DE⊆平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（7分）
（Ⅱ）解：∵DE∥AC₁，
∴∠CDE为异面直线AC₁和CD所成的角或其补角，…（8分）
∵AC=BC=AA₁=4，三角形ABC是直角三角形，…（8分）
∴AB=4

2

…（9分）
∴CD=

1

2

AB=2

2

，DE=

1

2

AC1=2

2

，CE=

1

2

CB1=2

2

，
∴三角形CDE是等边三角形，…（12分）
∴∠CDE=

π

3

．
∴异面直线AC₁和CD所成的角为

π

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．