Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 5

5

，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，设以椭圆C的右焦点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，若点M为抛物线E上任意一点，求点M到直线l距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知，b的值，再根据椭圆的离心率求得a值，从而得出椭圆C的方程即可；
（2）由（1）可求得椭圆C的右焦点坐标从而求得抛物线E的方程，而直线l的方程为x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得点M到直线l的距离的函数表达式，最后利用求二次函数最小值的方法即可求出抛物线E上的点到直线l距离的最小值．

解答： 解：（1）由题意可知，b=2（11分）
∵e=

c

a

=

2 5

5

，
即

c2

a2

=

4

5

，
∵A（0，1）是椭圆C的顶点．
∴b=1，
∴a²=5（3分）
∴所以椭圆C的方程为：

x2

5

+y2=1．（4分）
（2）：由（1）可求得椭圆C的右焦点坐标F（2，0）（6分）
∴抛物线E的方程为：y²=8x，
而直线l的方程为x-y+1=0
设动点M为（

y 2 0

8

，y₀），
则点M到直线l的距离为d=

| y 2 0 8 -y0+1|

2

=

| 1 8 (y0-4)2-1|

2

≥

2

2

．（13分）
即抛物线E上的点到直线l距离的最小值为

2

2

．（14分）

点评：本本题主要考查椭圆的基本性质和直线与圆的位置关系、抛物线的方程等．考查用待定系数法求椭圆的标准方程，主要考查椭圆的标准方程的问题．要能较好的解决椭圆问题，必须熟练把握好椭圆方程中的离心率、长轴、短轴、标准线等性质．