Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，点MN分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面A₁ACC₁
（Ⅱ）求点B到平面ACM的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，MN∥AC₁，又∵MN?平面A₁ACC₁，A₁C?平面A₁ACC₁，∴MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）利用等体积法求线面距．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接B₁M，AC₁，…（1分）
由已知得四边形ABB₁A₁是矩形，
∴A，M，B₁三点共线且M是AB₁的中点，
又∵N是B₁C₁的中点，
∴MN∥AC₁．                       …（4分）
又∵MN?平面A₁ACC₁，A₁C?平面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．            …（6分）
（Ⅱ）设点B到平面ACM的距离为h．
由已知得AC⊥平面ABB₁A₁，∴AC⊥AM．
∵AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，
∴AM=

1

2

AB₁=

1

2

×2

2

=

2

．∴S_△ACM=

1

2

AC•AM=

1

2

×2×

2

=

2

．
∵AA₁=2，M是为A₁B的中点，AA₁⊥平面ABC，
∴点M到平面ABC的距离是1，S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×2=2．…（9分）
∵V_B-ACM=V_M-ABC，∴

1

3

S_△ACM•h=

1

3

S_△ABC×1，∴h=

S△ABC

S△ACM

=

2

2

=

2

．
∴点B到平面ACM的距离是

2

．                              …（12分）

点评：本题考查线面平行即线面距，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．