Question

20．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及其对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足f（A）=$\sqrt{3}$+1，若a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简f（x），再根据正弦函数的图象和性质即可求出函数f（x）的单调递增区间及其对称中心，
（Ⅱ）先求出A，再根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，以及三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{3}$[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]+sin（$\frac{π}{2}$+2x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
则对称中心为（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\sqrt{3}$），k∈Z；
（Ⅱ）f（A）=$\sqrt{3}$+1，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$+1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$，
∵|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=3，①，
BC边上的中线为3，则|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=6，②，
由①②知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{27}{4}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos$\frac{π}{3}$=$\frac{27}{4}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{27}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及正弦函数的图象和性质，向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，以及三角形的面积公式，属于中档题．