Question

10．在三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求角A；
（2）若$a=\sqrt{13}$，b+c=5，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．解得A．
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把$a=\sqrt{13}$，b+c=5，代入可得bc，可得三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc$sinA．

解答 解：（Ⅰ）在三角形ABC中，∵（2b-c）cosA=acosC，
由正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
化为：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
sinB≠0，解得cosA=$\frac{1}{2}$．A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
∵$a=\sqrt{13}$，b+c=5，
∴13=（b+c）²-3cb=5²-3bc，
化为bc=4，
所以三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．