Question

7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=-3+\sqrt{3}t\\ y=2\sqrt{3}+t\end{array}\right.（t为参数）$．
（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（2）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离为$\frac{3}{2}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程可知：a=2，b=$\sqrt{3}$，sin²θ+cos²=1，可求得其参数方程，将t=y-2$\sqrt{3}$代入x=-3+$\sqrt{3}$t，即可求得直线l的普通方程；
（2）设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），利用两点之间的距离公式，即可求得2-cosθ=$\frac{3}{2}$，即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）由椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，a=2，b=$\sqrt{3}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为为参数），
将t=y-2$\sqrt{3}$代入x=-3+$\sqrt{3}$t，整理得：x-$\sqrt{3}y$+9=0，
椭圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ为为参数），直线l的普通方程x-$\sqrt{3}y$+9=0；
（2）设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），则丨AP丨=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{3}sinθ）^{2}}$=2-cosθ，
由丨AP丨=$\frac{3}{2}$，得2-cosθ=$\frac{3}{2}$，
又sin²θ+cos²=1，得sinθ=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$．
点P的坐标（1，±$\frac{3}{2}$）．
∴点P的坐标（1，±$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查椭圆及直线的参数方程，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．