Question

17．在多面体ABCDE中，ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面CDE，CD⊥DE，2DE=2DC=BC，F是棱BC的中点．
（1）证明：AF⊥EF；
（2）已知CD=1，求点B到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （1）连结DF，AF．证明ED⊥AF，AF⊥DF，得到AF⊥面DEF，即可得到AF⊥EF．
（2）利用V_B-AEF=V_E-ABF 求解．

解答 解：（1）证明：连结DF，AF．
平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，CD⊥DE，∴DE⊥面ABCD．
∴ED⊥AF，
在矩形ABCD中，AB=DC=CF=FB，∴∠CFD=∠BFA=90°．即AF⊥DF，
∴AF⊥面DEF，又因为EF?面EFD，∴AF⊥EF．
（2）设点B到平面AEF的距离为h，且2DE=2DC=BC=2
∵V_B-AEF=V_E-ABF，∴$\frac{1}{3}×{s}_{△AEF}×h=\frac{1}{3}×{s}_{ABF}×ED$．，EF=$\sqrt{E{D}^{2}+C{D}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{3}$
∵${s}_{△AEF}=\frac{1}{2}×AE×EF=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，${s}_{△ABF}=\frac{1}{2}×AB×BF=\frac{1}{2}$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，即B到平面AEF的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，等体积法求点面距离，属于中档题．