Question

如图K45­7所示，在直棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA₁＝3.

(1)证明：AC⊥B₁D；

(2)求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

解：方法一：(1)证明：因为BB₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB₁.

又AC⊥BD，且BB₁∩BD＝B，所以AC⊥平面BB₁D.

因为B₁D⊂平面BB₁D，所以AC⊥B₁D.

(2)因为B₁C₁∥AD，所以直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角等于直线AD与平面ACD₁所成的角(记为θ)．

如图所示，连接A₁D.

因为棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁是直棱柱，且∠B₁A₁D₁＝∠BAD＝90°，

所以A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，所以A₁B₁⊥AD₁.

又AD＝AA₁＝3，所以四边形ADD₁A₁是正方形，于是A₁D⊥AD₁.又A₁D∩A₁B₁＝A₁，

所以AD₁⊥平面A₁B₁D，于是AD₁⊥B₁D.

由(1)知，AC⊥B₁D，且AD₁∩AC＝A，

所以B₁D⊥平面ACD₁，

故∠ADB₁＝90°－θ.

在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，

从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝.

连接AB₁，易知△BB₁D是直角三角形，且B₁D²＝BB＋BD²＝BB＋AB²＋AD²＝21，即B₁D＝，

所以在Rt△AB₁D中，cos∠ADB₁＝＝＝，

即cos(90°－θ)＝，从而可得sin θ＝，

即直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值为.

方法二：(1)证明：易知，AB，AD，AA₁两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B₁(t，0，3)，C(t，1，0)，C₁(t，1，3)，D(0，3，0)，D₁(0，3，3)，

令x＝1，则n＝(1，－，)．

设直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角为θ，则

即直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值为.