Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点. 依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点. 设曲线段C的方程为 y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0） 其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|． 所以M（，0），N（，0） 由|AM|＝，|AN|＝3得 （xA＋）2＋2pxA＝17　　　　　　 ① （xA）2＋2pxA＝9　　　　　　   ② 由①②两式联立解得xA＝，再将其代入①式并由p>0 解得或 因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA， 故舍去 所以p＝4，xA＝1． 由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|＝4． 综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F. 设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0） 依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， yA＝|DM|＝ 由于△AMN为锐角三角形，故有 xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4 xB＝|BF|＝|BN|＝6． 设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合 ｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝ 故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．