题目内容

如图,直线l1l2相交于点Ml1l2,点Nl1.以AB为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程

曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).


解析:

如图建立坐标系,以l1x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.

依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中AB分别为C的端点.

设曲线段C的方程为,y2=2pxp>0),(xAxxBy>0)

其中xAxB分别为AB的横坐标,p=|MN|.所以M,0),N,0)

由|AM|=,|AN|=3得:

xA2+2pxA=17             ①

xA2+2pxA=9               ②

由①②两式联立解得xA,再将其代入①式并由p>0,解得

因为△AMN是锐角三角形,所以xA,故舍去

所以p=4,xA=1.由点B在曲线段C上,得xB=|BN|=4.

综上得曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).

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