题目内容
如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17 |
分析:方法一:由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线,建立适当的坐标系,依据题意求参数值.用定义法写出抛物线的方程.
方法二:建立相应的坐标系,设出曲线段C上的任意一点的坐标(x,y),依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程.
方法二:建立相应的坐标系,设出曲线段C上的任意一点的坐标(x,y),依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程.
解答:解:法一:如图建立坐标系,
以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以M(-
,0),N(
,0).
由|AM|=
,|AN|=3得
(xA+
)2+2pxA=17,①
(xA-
)2+2pxA=9.②
由①,②两式联立解得xA=
.再将其代入①式并由p>0解得
或
因为△AMN是锐角三角形,所以
>xA,故舍去
所以p=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-
=4.
综上得曲线段C的方程为
y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,
分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
=2
,
由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+
=4
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以M(-
p |
2 |
p |
2 |
由|AM|=
17 |
(xA+
p |
2 |
(xA-
p |
2 |
由①,②两式联立解得xA=
4 |
p |
|
|
因为△AMN是锐角三角形,所以
p |
2 |
|
所以p=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-
p |
2 |
综上得曲线段C的方程为
y2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,
分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
|AM|2-|DA|2 |
2 |
由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+
|AN|2-|AE|2 |
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
点评:考查利用坐标法求轨迹方程,以及抛物线的定义,本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力.
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