题目内容
如图,直线l
1和l
2相交于点M,l
1⊥l
2,点N∈l
1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l
2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=
,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
分析:方法一:由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线,建立适当的坐标系,依据题意求参数值.用定义法写出抛物线的方程.
方法二:建立相应的坐标系,设出曲线段C上的任意一点的坐标(x,y),依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程.
解答:解:法一:如图建立坐标系,
以l
1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l
2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y
2=2px(p>0),(x
A≤x≤x
B,y>0),
其中x
A,x
B分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以M(
-,0),N(
,0).
由|AM|=
,|AN|=3得
(x
A+
)
2+2px
A=17,①
(x
A-
)
2+2px
A=9.②
由①,②两式联立解得x
A=
.再将其代入①式并由p>0解得
或因为△AMN是锐角三角形,所以
>x
A,故舍去
所以p=4,x
A=1.
由点B在曲线段C上,得x
B=|BN|-
=4.
综上得曲线段C的方程为
y
2=8x(1≤x≤4,y>0).
解法二:如图建立坐标系,
分别以l
1、l
2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l
1,AD⊥l
2,BF⊥l
2,垂足分别为E、D、F.
设A(x
A,y
A)、B(x
B,y
B)、N(x
N,0).
依题意有
x
A=|ME|=|DA|=|AN|=3,
y
A=|DM|=
=2,
由于△AMN为锐角三角形,故有
x
N=|ME|+|EN|
=|ME|+
=4
x
B=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-x
N)
2+y
2=x
2,x
A≤x≤x
B,y>0}.
故曲线段C的方程为y
2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
点评:考查利用坐标法求轨迹方程,以及抛物线的定义,本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力.
一题一题找答案解析太慢了
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