题目内容
如图,直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=
,|AN|=3,且|BN|=6.
(1)曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分?并建立适当的坐标系,求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程;
(2)在(1)所建的坐标系下,已知点P(m,n)在曲线段C上,直线l:mx+ny=1,求直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围.
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(1)曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分?并建立适当的坐标系,求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程;
(2)在(1)所建的坐标系下,已知点P(m,n)在曲线段C上,直线l:mx+ny=1,求直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围.
分析:(1)由题设知曲线段C是抛物线的一部分.分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0),依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,由此能求出曲线段C的方程.
(2)由点P(m,n)在曲线段C上,知n2=8m(1≤m≤4,n>0),圆x2+y2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d=
,则直线l被圆x2+y2=1截得的弦长t=2
=2
=2
,(1≤m≤4),由此能求出直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围.
(2)由点P(m,n)在曲线段C上,知n2=8m(1≤m≤4,n>0),圆x2+y2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d=
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1-d2 |
1-
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1-
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解答:解:(1)∵直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2,点N∈l1.
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.
△AMN为锐角三角形,|AM|=
,|AN|=3,且|BN|=6.
∴曲线段C是抛物线的一部分.
如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)
依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
=2
由于△AMN为锐角三角形,
故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+
=4,
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,
则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}
故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(2)∵点P(m,n)在曲线段C上,
∴n2=8m(1≤m≤4,n>0),
圆x2+y2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d=
,
则直线l被圆x2+y2=1截得的弦长
t=2
=2
=2
,(1≤m≤4),
∵1≤m≤4,
∴9≤m2+8m≤48,
∴
≤1-
≤
,
∴
≤t≤
,
∴直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围为[
,
].
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.
△AMN为锐角三角形,|AM|=
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∴曲线段C是抛物线的一部分.
如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)
依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
|AM|2-|DA|2 |
2 |
由于△AMN为锐角三角形,
故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+
|AN|2-|AE|2 |
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,
则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}
故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(2)∵点P(m,n)在曲线段C上,
∴n2=8m(1≤m≤4,n>0),
圆x2+y2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d=
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则直线l被圆x2+y2=1截得的弦长
t=2
1-d2 |
1-
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∵1≤m≤4,
∴9≤m2+8m≤48,
∴
8 |
9 |
1 |
m2+8m |
47 |
48 |
∴
4
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3 |
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∴直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围为[
4
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3 |
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点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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