题目内容

如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分)

 

【答案】

【解析】

试题分析:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.由题意可知:曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为,其中分别为A、B的横坐标,.所以,. 由

          ①

           ②

联立①②解得.将其代入①式并由p>0解得,或

因为△AMN为锐角三角形,所以,故舍去.  ∴p=4,

由点B在曲线段C上,得.综上得曲线段C的方程为

考点:本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质及直线与抛物线的位置关系,

点评:这是一道综合性较强的题目,在重点考查抛物线标准方程、几何性质同时,考查了直线与直线的位置关系,对考生分析问题解决问题的能力及运算能力都有较好的考查功能。

 

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