Question

11．设函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是[$\frac{3}{2e}$，1）．

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，则存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，
设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
∵存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，
∴存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2e${\;}^{-\frac{1}{2}}$．
当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过（1，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得$\frac{3}{2e}≤a＜1$．
∴a的取值范围是[$\frac{3}{2e}$，1）．
故答案为：[$\frac{3}{2e}$，1）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．