Question

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f（a₃）]²-a₁a₅=（　　）

• A、0
• B、

  1

  16

  π2
• C、

  1

  8

  π2
• D、

  13

  16

  π2

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：f（x）=2x-cosx⇒f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），而{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，利用等差数列的性质可得a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，cosa₁+cosa₂+…+cosa₅=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），依题意知cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的结果不含π，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π⇒cosa₃=0，故a₃=

π

2

，于是可求得答案．

解答： 解：∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-

π

8

×2）+cos（a₃+

π

8

×2）]+[cos（a₃-

π

8

）+cos（a₃+

π

8

）]+cosa₃
=2cosa₃•cos

π

4

+2cosa₃•cos（-

π

8

）+cosa₃=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），
则cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的结果不含π，
又∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=

π

2

．
[f（a₃）]²-a₁a₅=π²-（

π

2

-2•

π

8

）•

3π

4

=

13

16

π2．
故选：D．

点评：本题考查等差数列的通项公式与性质的应用，考查两角和与差的余弦，求得a₃=

π

2

是关键，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．