Question

已知等差数列{a_n} 的公差不为零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列            
（Ⅰ）求{a_n} 通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2 an+2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，结合a₂，a₅，a₁₄成等比数列列式求得公差，则等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n} 通项公式代入b_n=2 an+2n，分组后由等差数列和等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n} 的公差为d，
由a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由b_n=2 an+2n=22n-1+2n=

1

2

•4n+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
=

4n+1-4

6

+n2+n=

2

3

•4n+n2+n-

2

3

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了数列的分组求和，是中档题．