Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则一定有（　　）

• A、a＜0  b＞0  c＞0  d＜0
• B、a＜0  b＜0  c＞0  d＜0
• C、a＜0  b＞0  c＜0  d＜0
• D、a＜0  b＜0  c＜0  d＜0

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由已知中函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向（可判断a的符号）及对应函数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b，c的符号，进而得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为负，故d＜0；
∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象有两个递减区间，有两个递增区间，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c的图象开口方向朝下，且于x轴有两个交点，故a＜0，
又∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴两侧，且极小点离y轴近，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两根x₁，x₂满足，
x₁+x₂＞0，则b＞0，x₁•x₂＜0，则c＞0，
综上a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，
故选A

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据图象的形状分析其导函数的性质是解答本题的关键，同时由于本题涉及到导数，二次函数的图象和性质，函数的单调性，函数取极值的条件等诸多难点，故难度比较大．