Question

与圆（x-2）²+y²=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是

 

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Answer 1

考点：抛物线的定义

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由圆（x-2）²+y²=1可得：圆心F（2，0），半径r=1．设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM⊥直线l：x+1=0，M为垂足．可得：|PF|-r=|PM|，即|PF|=|PM|+1．因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线．求出即可．

解答： 解：由圆（x-2）²+y²=1可得：圆心F（2，0），半径r=1．
设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM⊥直线l：x+1=0，M为垂足．
则|PF|-r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1．
因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．
由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F（2，0）为焦点，定直线L：x=-2是准线．
∴抛物线的方程为：y²=8x．
∴与圆（x-2）²+y²=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评：本题考查了两圆相外切的性质、抛物线的定义、转化思想方法，属于基础题．