Question

18．若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=m，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=3，求实数m的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=3⇒$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4 和$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9，即可求解；
（2）利用（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=以$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{2π}{3}$求解．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4．
即以$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4．，…（2分）
又|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=m，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{3-{m}^{2}}{2}$．…（3分）
由|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=3，所以所以|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=9．
即以$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9，
所以1+4×$\frac{3-{m}^{2}}{2}$+4m²=9，解得m=±1，…（6分）
又|$\overrightarrow{b}$|≥0，所以m=1．…（7分）
（2）因为，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=m，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{3-{m}^{2}}{2}$
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1-2×$\frac{3-{m}^{2}}{2}$+m²=2m²-2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2{m}^{2}-2}$．…（9分）
又因为$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=以$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{2π}{3}$
即，所以1-m²=2×$\sqrt{2{m}^{2}-2}cos\frac{2π}{3}$，解得m=±$\sqrt{3}$，…（13分）
又|$\overrightarrow{b}$|≥0，所以m=$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，掌握运算性质是关键，属于中档题．