Question

14．已知数列{a_n}，设S_n是数列{a_n}的前n项和，并且满足a₁=1，对任意正整数n，有S_n+1=4a_n+2．
（1）令b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…），证明{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求c_n=$\frac{{b}_{n}}{3}$，求数列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{C}_{n+2}•lo{g}_{2}{C}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n可知证明a_n+1=4（a_n-a_n-1），通过b_n=a_n+1-2a_n可知b_n+1=2（a_n+1-2a_n），通过作商可知{b_n}是公比为2的等比数列，通过a₁=1可知b₁=3，进而可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=2^n-1，裂项可知$\frac{1}{lo{g}_{2}{C}_{n+2}•lo{g}_{2}{C}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 （1）证明：a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）
=4（a_n-a_n-1） （n∈N₊，n≥2）．…（1分）
由题意知b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1．
∴b_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1=2a_n+1-4a_n=2（a_n+1-2a_n），…（3分）
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2（{a}_{n-1}-2{a}_{n}）}{{a}_{n-1}-2{a}_{n}}$=2（n∈N₊），
∴{b_n}是等比数列，公比q=2．…（5分）
又∵S₂=4a₁+2，∴a₁+a₂=4a₁+2，
∴1+a₂=4+2，∴a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
∴b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1．…（7分）
（2）解：∵c_n=$\frac{{b}_{n}}{3}$=2^n-1，…（8分）
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{C}_{n+2}•lo{g}_{2}{C}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（10分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．