Question

求函数f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2（x＞0）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,有理数指数幂的化简求值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2=（x+x^-1）²-a（x+x^-1）+a；从而令z=x+x^-1，则z≥2；配方法得y=z²-az+a=（z-

a

2

）²+a-

a2

4

；从而求最小值．

解答： 解：f（x）=x²+x^-2-a（x+x^-1）+a+2
=（x+x^-1）²-a（x+x^-1）+a；
令z=x+x^-1，则z≥2；
y=z²-az+a=（z-

a

2

）²+a-

a2

4

；
当

a

2

≤2，即a≤4时，
y_min=4-2a+a=4-a；
当

a

2

＞2，即a＞4时，
y_min=a-

a2

4

．

点评：本题考查了换元法及配方法求函数的最小值，属于中档题．