Question

已知函数f（x）=

(x-a)2-1，x≥0 -(x-b)2+1，x＜0

，其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a＜0时，且f（x）为奇函数，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（-1，1）上单调递减，求b-a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）运用奇函数的性质f（0）=0，可得a，再求x＜0的解析式，进而得到b=1，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（-1，1）上单调递减，则有

a≥1 b≤-1 a2-1≤1-b2

，运用不等式的性质，即可得到a=1，b=-1，进而得到b-a．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）为奇函数，则f（0）=a²-1=0，
由a＜0，则a=-1，x≥0时，f（x）=（x+1）²-1，
则x＜0，f（x）=-f（-x）=-[（-x+1）²-1]=-（x-1）²+1=-（x-b）²+1，
即有b=1，
故f（x）=

(x+1)2-1，x≥0 -(x-1)2+1，x＜0

；
（Ⅱ）当a＞0时，且f（x）在（-1，1）上单调递减，
则

a≥1 b≤-1 a2-1≤1-b2

，则有a²≥1，b²≥1，a²+b²≥2，
又a²+b²≤2，即有a²+b²=2，即a=1，b=-1，
则有b-a=-2．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．