题目内容
如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H、G分别是线段EF、BC的中点．（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）点M在直线EF上，且MG∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定
专题：空间角
分析：（1）由已知条件推导出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，从而得到BC⊥面AHC，由此能证明面AHC⊥面BCE．
（2）分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．
（2）分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．
解答：
（1）证明：在菱形ABEF中，
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等边三角形，
又∵H是线段EF的中点，∴AH⊥EF，AH⊥AB，
∵面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
∴AH⊥面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=2
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又∵AH∩AC=A，∴BC⊥面AHC，又BC?面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．…．（6分）
（2）解：分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则有A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2
），
F（0，-2，2
），H（0，0，2
），G（1，3，0），M（0，m，2
），
设点M（0，m，2
），则存在实数λ，μ，使得
=λ
+μ
，
代入解得M（0，1，2
），
由（1）知平面AHC的法向量是
=（2，-2，0），
设平面ACM的法向量是
=（x，y，z），
∵
=(2，2，0)，
=(0，1，2
)，
∴
，取z=
，得
=（6，-6，
），
∴cos＜
，
＞=
=
，
即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为
．…（12分）
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等边三角形，
又∵H是线段EF的中点，∴AH⊥EF，AH⊥AB，
∵面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
∴AH⊥面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=2
| 2 |
又∵AH∩AC=A，∴BC⊥面AHC，又BC?面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．…．（6分）
（2）解：分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则有A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2
| 3 |
F（0，-2，2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设点M（0，m，2
| 3 |
| GM |
| AD |
| AF |
代入解得M（0，1，2
| 3 |
由（1）知平面AHC的法向量是
| BC |
设平面ACM的法向量是
| n |
∵
| AC |
| AM |
| 3 |
∴
|
| 3 |
| n |
| 3 |
∴cos＜
| BC |
| n |
| 24 | ||||
2
|
2
| ||
| 5 |
即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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