Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为

2

2

．设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求|PA|²+|PB|²的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为

2

2

，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P（m，0）（-

2

≤m≤

2

），则直线l的方程为y=x-m，代入椭圆方程，表示出|PA|²+|PB|²，利用韦达定理代入，即可求|PA|²+|PB|²的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为

2

2

，
∴c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，
∴b=

a2-c2

=1-----------------（3分）
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．-----------------（4分）
（Ⅱ）设点P（m，0）（-

2

≤m≤

2

），则直线l的方程为y=x-m，-----------------（2分）
代入椭圆方程，消去y，得3x²-4mx+2m²-2=0-----------------（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，----------------（6分）
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²=2[（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2m（x₁+x₂）+2m²]
=2[（

4m

3

）²-

2(2m2-2)

3

-2m×

4m

3

+2m²]=-

4

9

m²+

8

3

-----------------（8分）
∵-

2

≤m≤

2

，即0≤m²≤2 
∴当m=0时，（|PA|²+|PB|²）_max=

8

3

，|PA|²+|PB|²的最大值为

8

3

．---------------（10分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．