Question

若函数f（x）=x³-3a²x+2（a＞0）有三个零点，则正数a的范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：函数y=f（x）有三个零点，等价于函数y=f（x）与x轴有三个交点，即函数的极大值为正，极小值为负，利用导数法构造关于a的不等式，可得正数a的范围．

解答： 解：∵f（x）=x³-3a²x+2，
∴f'（x）=3x²-3a²，
令f'（x）=0，
解得：x₁=-a，x₂=a，
∵在（-∞，-a）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
在（-a，a）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在（a，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
若函数y=f（x）有三个零点，等价于函数y=f（x）与x轴有三个交点，
于是

f(-a)＞0⇒2a3+2＞0⇒a＞-1 f(a)＜0⇒-2a3+2＜0⇒a＞1

，
又a＞0，
综上：正数a的取值范围是：a＞1，
故答案为：a＞1

点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程的根，将问题转化为函数y=f（x）与x轴有三个交点，进而转化为函数的极大值为正，极小值为负，是解答的关键．