Question

13．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}|$的最小值为3．

Answer 1

分析 先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}|$=$\sqrt{9+（1-2b）^{2}}$≥3，问题得以解决．

解答 解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）
设P（0，b）（0≤b≤1）
则$\overrightarrow{PC}$=（1，1-b），$\overrightarrow{PD}$=（2，-b），
∴$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=（3，1-2b），
∴$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}|$=$\sqrt{9+（1-2b）^{2}}$≥3，当且仅当b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}|$的最小值为3，
故答案为：3．

点评 此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．