Question

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据AE是圆柱的母线，所以下底面，又下底面，则 
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又⊥面，又面，即可得到BC⊥BE；
（Ⅱ）根据锥体的体积公式即可求四棱锥E-ABCD的体积．
试题解析：（Ⅰ）AE是圆柱的母线，
下底面，又下底面，           .3分
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又
⊥面，又面，             （7分）
（Ⅱ）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高      （8分），
由（Ⅰ）知⊥面，面，面⊥面，
又面面，面，
面，即EO就是四棱锥的高       （10分）
设正方形的边长为, 则，
又，为直径，即
在中，,   即
，                          （12分）