Question

3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．

Answer 1

分析 （1）转换底面，代入体积公式计算；
（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．

解答 （1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．
∴${S_{△EAD}}=\frac{1}{2}AD•AB=1$，…（3分）
∴${V_{E-PAD}}={V_{P-EAD}}=\frac{1}{3}{S_{EAD}}•PA=\frac{1}{3}$…（6分）
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵PA=AB=1，且点F是PB的中点，
∴AF⊥PB…（8分）
又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴BC⊥AF…（10分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{AF⊥PB}\\{AF⊥BC}\\{PB∩BC=B}\end{array}⇒}\right.$AF⊥平面PBC，又∵PE?平面PBC
∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）

点评 本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．