题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点(
3
，-
3
2
)，且椭圆的离心率e=
1
2
，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
1
|AB|
+
1
|CD|
为定值；
（Ⅲ）求|AB|+
9
16
|CD|的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（I）由a2=4c2=4（a2-b2），得3a2=4b2．再由椭圆过点(
3
，-
3
2
)知，
3
a2
+
3
4b2
=1，由此能求出椭圆的方程．
（II）当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x-1）（k≠0），CD：y=-
1
k
(x-1)．由此能推导出
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
为定值．
（Ⅲ）由
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
，推导出|AB|+
9
16
|CD|≥
12
7
(
25
16
+2
9
16
|CD|
|AB|
×
|AB|
|CD|
)=
21
4
，由此能求出|AB|+
9
16
|CD|的最小值．
解答： 解：（I）由e=
c
a
=
1
2
，得
c2
a2
=
1
4
，
∴a2=4c2=4（a2-b2），
∴3a2=4b2．（1），…（1分）
由椭圆过点(
3
，-
3
2
)知，
3
a2
+
3
4b2
=1．（2）…（2分）
联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3．…（3分）
故椭圆的方程是
x2
4
+
y2
3
=1．…（4分）
（II）
1
|AB|
+
1
|CD|
为定值
7
12
…（5分）
证明：椭圆的右焦点为F′（1，0），分两种情况．
1°当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
；…（6分）
2°当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x-1）（k≠0），则 CD：y=-
1
k
(x-1)．
又设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立方程组
y=k(x-1)
3x2+4y2=12
，
消去y并化简得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=
8k2
4k2+3
，x1•x2=
4k2-12
4k2+3
…（7分）
∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
•
64k4-16(k2-3)(4k2+3)
(4k2+3)2

=
12(k2+1)
4k2+3
，…（8分）
由题知，直线CD的斜率为-
1
k
，
同理可得|CD|=
12(1+k2)
4+3k2
…（9分）
所以
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7k2+7
12(k2+1)
=
7
12
为定值．…（10分）
（Ⅲ）解：由（II）知
1
|AB|
+
1
|CD|
=
7
12
，
∴|AB|+
9
16
|CD|=
12
7
(|AB|+
9
16
|CD|)(
1
|AB|
+
1
|CD|
)…（11分）
=
12
7
(
25
16
+
9
16
|CD|
|AB|
+
|AB|
|CD|
)
≥
12
7
(
25
16
+2
9
16
|CD|
|AB|
×
|AB|
|CD|
)=
21
4
，…（12分）
当且仅当
9
16
|CD|
|AB|
=
|AB|
|CD|
，
即|AB|=
3
4
|CD|，即|AB|=3，|CD|=4时取等号  …（13分）
∴|AB|+
9
16
|CD|的最小值为
21
4
．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查定值的证明，考查最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l、m与平面α、β，l?α，m?β，则下列命题中正确的是
 
（填写正确命题对应的序号）．
①若l∥m，则α∥β；
②若l⊥m，则α⊥β；
③若l⊥β，则α⊥β；
④若α⊥β，则m⊥α．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且
AF
=3
BF
，则双曲线离心率的最小值为（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、2
2
已知曲线y=x2在点（n，n2）处的切线方程为
x
an
-
y
bn
=1，其中n∈N*
（1）求an，bn关于n的表达式；
（2）设Cn=
1
an+bn
，求证：c1+c2+…+cn＜
4
3
；
（3）设dn=
4an
λ•4an+1-λ
，其中0＜λ＜1，求证：d1+d2+…+dn＞
nλ+λ-1
λ2
．
抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积．
已知F（c，0）是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，圆F：（x-c）2+y2=a2与x轴交于E，D两点，B是椭圆C与圆F的一个交点，且|BD|=
3
×|BE|．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，且△ABD的面积等于24×
6
×
c
13
，求椭圆C的方程．
已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，
（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．
已知函数f（x）=
x+1
ex
（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+
1
ex
，存在函数x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．
已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=
5
4
．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设B，C为抛物线上不同于A的两点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

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