Question

已知F（c，0）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，圆F：（x-c）²+y²=a²与x轴交于E，D两点，B是椭圆C与圆F的一个交点，且|BD|=

3

×|BE|．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，且△ABD的面积等于24×

6

×

c

13

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题设条件推导出△BED是直角三角形，△BEF是等边三角形，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）由切线性质推导出BF⊥BG，在Rt△BFG中，∠3=30°，直线BG为：y=

3

3

x+

3

c，从而得到yA=

5 3

13

c，OD=OG=3c，GD=6c，由此能求出椭圆C的方程．

解答： 解：（1）如图，∵EF=BF=DF=a，|BD|=

3

×|BE|，
∴△BED是直角三角形，∠1=60°，
∵BF=EF，∴△BEF是等边三角形，
∴BF=2OF，
∵OF=c，BF=a，
∴e=

c

a

=

1

2

．
（2）∵过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A，
∴BF⊥BG，∴在Rt△BFG中，∠3=30°，
∵B（0，

3c

），k_BG=

3

3

，∴直线BG为：y=

3

3

x+

3

c，
∴

x2 4c2 + y2 3c2 =1 y= 3 3 x+ 3 c

，
解得yA=

5 3

13

c，
∵FD=a=2c，∴OD=OG=3c，∴GD=6c，
∵S_△ABD=S_△BDG-S_△ADG，

24 6

13

c=

1

2

GD(BO-yA)=

1

2

×6c(

3

c-

5 3

13

c)，
∴c=

2

，∴a²=8，b²=6，
∴椭圆C的方程为：

x2

8

+

y2

6

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和数形结合思想的灵活运用．