题目内容
9．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1的右支上，F为双曲线的左焦点，Q为线段PF的中点，O为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{17}{15}$ | B． | $\frac{15}{17}$ | C． | $\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{5}{3}$ |
分析 取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF'|，由题意可得|PF'|的最小值为2，由PF'的最小值为c-a，解方程可得a=3，求出c=5，由离心率公式即可得到所求值．
解答 
解：取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF'|，
由题意可得|PF'|的最小值为2，
由PF'的最小值为c-a=$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a，
即有$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a=2，
解得a=3，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即有c=$\sqrt{9+16}$=5，
可得离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：D．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查定义法的运用，考查中位线定理和化简运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （$\sqrt{3}$，+∞） | C． | （2，+∞） | D． | （$\sqrt{5}$，+∞） |
17．
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（ ）
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 3 |
4．已知l是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则P到x轴的距离为（ ）
| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ |
14．抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，且△AOB的面积为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，则点B的纵坐标为（ ）
| A． | ±1 | B． | $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $±\sqrt{2}$ | D． | $±\frac{1}{2}$ |
1．若正四棱锥的侧棱长为$\sqrt{3}$，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D． | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ |
19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与函数y=$\sqrt{x}$（x≥0）的图象交于点P，若函数y=$\sqrt{x}$的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（-4，0），则双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{17}+4}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{17}+3}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{17}+2}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{17}+1}{4}$ |