Question

4．如图所示的多面体ABCDEF，四边形ABCD是边长为2的正方形，面BDFE⊥面ABCD，四边形BDFE为矩形，BE长为a，M为AE的中点，AC∩BD=O．
（1）求证：OM∥平面ADF；
（2）若BF⊥AE，求三棱锥E-BOM的体积．

Answer 1

分析 （1）取AF中点N，连接MN，DN，由三角形中位线定理及平行公理可得四边形MNDO为平行四边形，则OM∥ND，再由线面平行的判定可得OM∥平面ADF；
（2）由面BDEF⊥面ABCD，正方形ABCD中AC⊥BD，可得AC⊥平面BDEF，则AC⊥BF，再由BF⊥AE，得BF⊥OE，求得a=2，然后利用等积法求三棱锥E-BOM的体积．

解答 （1）证明：取AF中点N，连接MN，DN，
∵M为AE的中点，
则$MN∥EF，MN=\frac{1}{2}EF，OD∥EF，OD=\frac{1}{2}EF$，
∴MN∥OD，MN=OD，
∴四边形MNDO为平行四边形，
∴OM∥ND，
∵ND?平面ADF，OM?平面ADF，
∴OM∥平面ADF；
（2）解：∵面BDEF⊥面ABCD，正方形ABCD中AC⊥BD，
∴AC⊥平面BDEF，则AC⊥BF，
若BF⊥AE，则BF⊥平面ACE，BF⊥OE，
在矩形BDEF中，得a=2，
∴${V_{E-BOM}}={V_{A-BOM}}={V_{M-AOB}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AO×BO×\frac{BE}{2}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．