Question

14．已知在平面直角坐标系xoy中，直线x-ky+2k-1=0与圆x²+y²=4交于A，B两点，若在该圆上还存在一点C，使得$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$成立，则实数k的值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 0或$\frac{4}{3}$
• D． 0或$-\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由已知得四边形OACB为菱形，对角线相互垂直，交于D，小的角为锐角且为60°，可得弦AB的长为2$\sqrt{3}$，OD=1，利用圆心到直线的距离也等于1，可得k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，C是圆上一点，
∴四边形OACB为菱形，对角线相互垂直，交于D，
∴△OAC为等边三角形，且边长为2，
∴OD=1，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或$\frac{4}{3}$
故选：C

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．