Question

5．已知等差数列{a_n}满足a₁=3，a₅=15，数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设正项等比数列{c_n}满足c_n=b_n-a_n．
（1）求数列{a_n}和{c_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意得a₅=a₁+4d⇒3+4d=15⇒d=3，所以a_n=3+3（n-1）=3n．
设等比数列{c_n}的公比为q，依题意得c₁=b₁-a₁=4-3=1，c₅=b₅-a₅=31-15=16，
从而${c_5}={c_1}{q^4}⇒16=1×{q^4}⇒q=2$，所以${c_n}=1×{2^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（2）因为${c_n}={b_n}-{a_n}⇒{b_n}={a_n}+{c_n}⇒{b_n}=3n+{2^{n-1}}$，所以数列{b_n}的前n项和S_n=（3+1）+（6+2）+（9+2²）+…+（3n+2^n-1）
=（3+6+…+3n）+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$+2ⁿ-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．