Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=-1，${a_{n+1}}=\frac{{（3n+3）{a_n}+4n+6}}{n}，n∈{N^*}$．
（1）求证：数列$\left\{{\frac{{{a_n}+2}}{n}}\right\}$是等比数列；
（2）设${b_n}=\frac{{{3^{n-1}}}}{{{a_n}+2}}，n∈{N^*}$，求证：当n≥2，n∈N^*时，${b_{n+1}}+{b_{n+2}}+…+{b_{2n}}＜\frac{4}{5}-\frac{1}{2n+1}$．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=-1，${a_{n+1}}=\frac{{（3n+3）{a_n}+4n+6}}{n}，n∈{N^*}$．可得$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=$\frac{\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}}{n+1}$=3×$\frac{{a}_{n}+2}{n}$．即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+2=n•3^n-1．b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{n}$．当n≥2，n∈N^*时，b_n+1+b_n+2+…+b_2n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，利用数学归纳法证明：${b_{n+1}}+{b_{n+2}}+…+{b_{2n}}＜\frac{4}{5}-\frac{1}{2n+1}$即可．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}满足a₁=-1，${a_{n+1}}=\frac{{（3n+3）{a_n}+4n+6}}{n}，n∈{N^*}$．
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{n+1}$=$\frac{\frac{（3n+3）{a}_{n}+4n+6}{n}}{n+1}$=3×$\frac{{a}_{n}+2}{n}$．
$\frac{{a}_{1}+2}{1}$=1，∴数列$\left\{{\frac{{{a_n}+2}}{n}}\right\}$是等比数列，首项为1，公比为3．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n}+2}{n}$=3^n-1，可得a_n+2=n•3^n-1．
b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{1}{n}$．
∴当n≥2，n∈N^*时，b_n+1+b_n+2+…+b_2n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$
下面利用数学归纳法证明：${b_{n+1}}+{b_{n+2}}+…+{b_{2n}}＜\frac{4}{5}-\frac{1}{2n+1}$．
①当n=2时，b₃+b₄=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$＜$\frac{3}{5}$=$\frac{4}{5}-\frac{1}{5}$．
②假设n=k∈N^*，k≥2．b_k+1+b_k+2+…+b_2k＜$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2k+1}$．
则n=k+1时，b_k+2+b_k+3+…+b_2k+b_2k+1+b_2k+2＜$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2k+2}$＜$\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2k+3}$．
∴n=k+1时，假设成立．
综上可得：当n≥2，n∈N^*时，${b_{n+1}}+{b_{n+2}}+…+{b_{2n}}＜\frac{4}{5}-\frac{1}{2n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、“放缩”方法、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．