Question

14．已知正数数列{a_n}的前n项和S_n，满足a₁a_n=S₁+S_n（n∈N^*）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：当n=1时，$a_1^2={a_1}+{a_1}$，又a_n＞0，∴a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）证明：${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
令T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
相减可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式与求和公式、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．