Question

已知x₁＞0，x₂＞0且x₁+x₂=1，求x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），根据对数的基本运算法则，利用导数即可得到式子的最值．

解答： 解：设f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）（0＜x＜1），
则f′（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log2

x

1-x

，
当0＜x＜

1

2

时，0＜

x

1-x

＜1，f′（x）＜0，
当

1

2

＜x＜1时，

x

1-x

＞1，f′（x）＞0，
所以f(x)≥f(

1

2

)=-1，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂=f（x₁）≥-1，
且当x1=x2=

1

2

时，取“=”，
所以x₁log₂x₁+x₂log₂x₂的最小值是-1；

点评：本题主要考查对数的基本运算，利用条件构造函数，利用导数是解决本题的关键，综合性较强．