Question

14．若存在实数m，n（m＜n）使得函数y=a^x（a＞1）的定义域与值域均为[m，n]，则实数a的取值范围为1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 由题意结合函数的单调性可得方程a^x=x有两个不同实根m，n，转化为函数y=$\frac{lnx}{x}$与y=lna有两个不同交点，利用导数求得y=$\frac{lnx}{x}$的单调性及其最值，数形结合得答案．

解答 解：∵函数y=a^x（a＞1）为增函数，且其定义域与值域均为[m，n]，
则a^m=m，aⁿ=n，即方程a^x=x有两个不同实根m，n，
由a^x=x，可知lnx=xlna，即$\frac{lnx}{x}=lna$，问题转化为函数y=$\frac{lnx}{x}$与y=lna有两个不同交点．
令y=$\frac{lnx}{x}$，则y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由y′=0，可得x=$\frac{1}{e}$，可知当x∈（0，e）时，y′＞0，当x∈（e，+∞）时，y′＜0．
∴y=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
结合图象可得0＜lna＜$\frac{1}{e}$，故1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案为：1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．

点评 本题考查函数的定义域及其值域，考查利用导数研究函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题．