Question

19．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，（α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）），则cos2α=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 首先将所给式子平方求出2cosαsinα的值，进而结合α的范围得出cosα-sinα＞0，然后求出cosα-sinα的值，再利用二倍角的余弦公式求出结果．

解答 （本题满分为12分）
解：∵cosα+sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，⇒（cosα+sinα）²=$\frac{1}{5}$，⇒1+2cosαsinα=$\frac{1}{5}$，⇒2cosαsinα=-$\frac{4}{5}$，…（3分）
又∵α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cosα＞0，可得：sinα＜0，⇒α∈（-$\frac{π}{2}$，0），⇒cosα-sinα＞0．        …（6分）
又∵（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=$\frac{9}{5}$，从而有⇒cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，…（9分）
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．