Question

11．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{2}$，1），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）若A是椭圆E的上顶点，F₁，F₂分别是左、右焦点，直线AF₁，AF₂分别交椭圆于B，C，直线BO交AC于D，求证：S_△ABD：S_△ABC=3：5；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足MA₂⊥A₁A₂，且MA₁交椭圆E于点P，求证：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及a²=b²+c²，求得a²=2b²，将（$\sqrt{2}$，1），代入$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程，由直线AB和AC的方程，代入椭圆方程求得B和C坐标，根据点到直线的距离公式，求得点A，C到直线BO的距离之比为3：2，根据三角形的面积公式，即可求得S_△ABD：S_△ABC=3：5；
（2）由题意可知：设M（2，y₀），P（x₁，y₁），直线MA₁的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入椭圆方程，求得P坐标，根据向量数量积的坐标表示，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）（2，y₀），整理可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=4．

解答 解：（1）证明：由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
由a²=b²+c²，则a²=2b²，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将（$\sqrt{2}$，1），代入解得：b²=2，a²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
A（0，$\sqrt{2}$），F₁（-$\sqrt{2}$，0）F₂（$\sqrt{2}$，0），
直线AB得斜率k=$\frac{\sqrt{2}-0}{0-（-\sqrt{2}）}$=1，
直线AB的方程为：y=x+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程得，整理得：3x²+4$\sqrt{2}$x=0，
即B（-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．
同理得C（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
直线BO为y=$\frac{1}{4}$x，
∴A到直线BO的距离为d₁=$\frac{丨4\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
C到直线BO的距离为d₂=$\frac{丨4×（-\frac{\sqrt{2}}{3}）-\frac{4\sqrt{3}}{3}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3\sqrt{17}}$，
点A，C到直线BO的距离之比为3：2，
∴S_△ABD：S_△ABC=3：5，．
（2）证明：设M（2，y₀），P（x₁，y₁），直线MA₁的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，整理得（1+$\frac{{y}_{0}^{2}}{8}$）x²+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$x+$\frac{{y}_{0}^{2}}{2}$-4=0，
由-2x₁=$\frac{4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，x₁=$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，
从而y₁=$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{-2（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$，$\frac{8{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+8}$）（2，y₀）=$\frac{-4（{y}_{0}^{2}-8）}{{y}_{0}^{2}+8}$+$\frac{{8y}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}+8}$=4，
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$为定值4．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的位置关系，三角形面积公式，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．