Question

7．已知抛物线y=x²上存在两个不同的点M，N关于直线l：y=-kx+$\frac{9}{2}$对称，求k的取值范围（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 设出M、N的中点P的坐标，根据P在抛物线内，建立不等式，即可求出k的取值范围．

解答 解：设抛物线上y=x²存在两个不同的点M、N关于y=-kx+$\frac{9}{2}$对称，MN的中点为P（x₀，y₀）（x₀≠0），
∴k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂=2x₀=$\frac{1}{k}$，
∴x₀=$\frac{1}{2k}$，
∵P∈l，
∴y₀=-kx₀+$\frac{9}{2}$，
∴y₀=4，
∵P在抛物线内，
∴y₀＞x₀²，
即4＞（$\frac{1}{2k}$）²，
∴16k²-1＞0，
解得：k∈（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．