Question

19．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． $-\frac{2}{3}$
• C． -1
• D． $-\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的关系，再利用$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，计算$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
则$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
即有$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$），
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos120°=2×1×（-$\frac{1}{2}$）=-1；
则有$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{3}$×（-1）-$\frac{1}{3}$×2²+$\frac{2}{3}$×1²-$\frac{2}{3}$×（-1）
=-$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义和性质，以及向量的加减运算和数乘问题，是基础题目．