Question

14．（文）已知$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$，且定义域为[0，1]，则函数f（x）的最小值为-4．

Answer 1

分析 先对函数式裂项得$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-8，再用基本不等式对函数求最值．

解答 解：$f（x）=\frac{{{x^2}-6x-3}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^2-8（x+1）+4}{x+1}$
=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-8，
因为，x∈[0，1]，所以，x+1∈[1，2]，
因此，（x+1）+$\frac{4}{x+1}$≥2•$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$=4，
当且仅当，x+1=2，即x=1时，取“=”，
所以，f（x）_min=f（1）=-4，
故答案为：-4．

点评 本题主要考查了基本不等式在求函数最值中的应用，以及取等条件的分析，考查了对分式“裂项”的运算技巧，属于中档题．